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limx趋向于0(√(1+2x²)%1)/(sin(x/2)ArCsinx) ...

lim[√(1+2x)-1]×arcsinx/tanx²=lim[√(1+2x)-1][√(1+2x)+1]arcsinx/{[√(1+2x)+1]tanx²} x→0 =lim 2xarcsinx/(x²[√(1+2x)+1]) x→0 =lim arcsinx/x=1 x→0

无穷近似值代换 =lim(x-arcsinx)/x³ 令u=arcsinx趋于零 =lim(sinu-u)/u³ =lim(cosu-1)/3u² =lim-sinu/6u =-1/6

lim(x->0)[√(1+xsinx)-1]/(xarcsinx) (0/0) =lim(x->0)(xcosx+ x)√(1-x^2)/[(2√(1+xsinx))(x+√(1-x^2). arcsinx) ] =lim(x->0)(cosx+ 1)√(1-x^2)/[(2√(1+xsinx))(1+√(1-x^2)) ] =2/4 =1/2

√(1+xarcsinx) -√cosx =[√(1+xarcsinx) -√cosx] *[√(1+xarcsinx) +√cosx] /[√(1+xarcsinx) +√cosx] =(1+xarcsinx-cosx) / [√(1+xarcsinx) +√cosx] x趋于0时, 1-cosx等价于0.5x^2,xarcsinx等价于x^2 而分母趋于2 故得到等价于1.5x^2 /2=ax^2 即...

limsin(1/x) x→0 上述没有极限,因为正弦函数为周期连续函数,1/x为无穷量,sin1/x为不定值,因而没有极限。 limxsin(1/x) x→0 正弦函数为周期连续函数,|sin1/x|≤1,是有限值, x为无穷小量,两者相乘仍为无穷小量,其极限为0。

利用等价无穷小替换 x~sinx~arcsinx,最后利用无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量得出答案 具体解题步骤如下:

2个重要要背到烂熟,x趋于0时limx/sinx=1,limx/ln(1+x)=1 所求=lim(x/√(1-x²))/-x=lim-1/√(1-x²)=-1

求不定积分∫(arcsinx)/[x²√(1-x²)]dx解:令x=sinu,则u=arcsinx,dx=cosudu; 故原式=∫udu/sin²u=∫ucsc²du=-∫ud(cotu)=-ucotu+∫cotudu =-ucotu+∫d(sinu)/sinu=-ucotu+ln∣sinu∣+C =-(arcsinx)[(1/x)√(1-x²)]+ln∣x∣+C

证明恒等式;arcsinx+arccosx=π/2 (-1≤x≤1) 证明: 设 arcsinx = u, arccosx = v ,(-1≤x≤1), 则 sinu=x,cosu=√[1-(sinu)^2]=√[1-x^2], cosv=x,sinv=√[1-(cosv)^2]=√[1-x^2], 左边=arcsinx+arccosx= =sin(u+v)=sinuconv+conusinv= =x^2+√[1-x^2]...

分母等价于x^3,分子等价于xsinx/2再等价于x^2/2

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