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怎么求ArCsinx的不定积分

具体步骤如下:

∫ (arcsinx)² dx = x(arcsinx)² - ∫ x * 2arcsinx * 1/√(1 - x²) dx = x(arcsinx)² - ∫ (2x)/√(1 - x²) * arcsinx dx = x(arcsinx)² + ∫ arcsinx * 2/[2√(1 - x²)] d(1 - x²) = x(arcsinx)² + 2∫ ...

变量替换

用两次分部积分(详见图片)

原式=∫arcsinxdx²/2 =x²/2 ·arcsinx- 1/2 ∫x²darcsinx =x²/2 ·arcsinx- 1/2 ∫x²/√(1-x²)dx =x²/2 ·arcsinx+1/2 ∫(1-x²-1)/√(1-x²)dx =x²/2 ·arcsinx+1/2 ∫√(1-x²)dx-1/2∫1√(1-x²)d...

令arcsinx=t,则x=sint ∫xarcsinxdx =∫sint·td(sint) =∫tsintcostdt =½∫tsin2tdt =-¼∫td(cos2t) =-¼tcos2t+¼∫cos2tdt =-¼t(1-2sin²t)+⅛sin2t +C =-¼(1-2x²)·arcsinx +¼x√(1-x²) +C =&#...

采纳的错误

令√x=sint 原式=∫t/cost*2sintcostdt=∫2tsintdt=-2∫td(cost)=-2tcost+2∫costdt=-2tcost+2sint+C=-2√(1-x)*arcsin√x+2√x+C

写一写就有:最后一次分部积分后,得到积分部分是 ∫[√(1-x²)]d(arcsinx-arccosx) = ∫[√(1-x²)]{[1/√(1-x²)]-[-1/√(1-x²)]}dx = …… = 2x+C。

令√x=sint 原式=∫t/cost*2sintcostdt=∫2tsintdt=-2∫td(cost)=-2tcost+2∫costdt=-2tcost+2sint+C=-2√(1-x)*arcsin√x+2√x+C

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