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(ArCsinx)^2的不定积分

变量替换

用两次分部积分(详见图片)

解题方法如下:

分部积分法 S表示积分号 Sarcsinxdx=xarcsins-Sxdarcsinx=xarcsins-Sx/根号下(1-x^2)dx=xarcsins+0.5S1/根号下(1-x^2)d(1-x^2)=xarcsins+根号下(1-x^2)+C

f(x) = x^2arcsinx/√(1-x^2) f(-x) =-f(x) ∫(-1/2->1/2) ( x^2arcsinx +1 )/√(1-x^2) dx =∫(-1/2->1/2) dx/√(1-x^2) =[arcsinx]|(-1/2->1/2) = π/3

令√x=sint 原式=∫t/cost*2sintcostdt=∫2tsintdt=-2∫td(cost)=-2tcost+2∫costdt=-2tcost+2sint+C=-2√(1-x)*arcsin√x+2√x+C

拆开为两项:第一项x^2arcsinx)/√(1-x^2)是奇函数在对称区间上的积分为0,第二项1/√(1-x^2)的原函数是arcsinx,所以答案是arcsin1-arcsin(-1)=π。

∫ (arcsinx)² dx = x(arcsinx)² - ∫ x * 2arcsinx * 1/√(1 - x²) dx = x(arcsinx)² - ∫ (2x)/√(1 - x²) * arcsinx dx = x(arcsinx)² + ∫ arcsinx * 2/[2√(1 - x²)] d(1 - x²) = x(arcsinx)² + 2∫ ...

分部积分法 S表示积分号 Sarcsinxdx=xarcsins-Sxdarcsinx=xarcsins-Sx/根号下(1-x^2)dx=xarcsins+0.5S1/根号下(1-x^2)d(1-x^2)=xarcsins+根号下(1-x^2)+C

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